Question

6．使f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）为偶函数，且在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上是减函数的θ的一个值是（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． -$\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由题意可得 2sin（2x+θ-$\frac{π}{3}$）为偶函数，可得θ=kπ+$\frac{5π}{6}$，故θ应从A、D中选取．分别检验是否满足在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上是减函数，可得结论．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-$\frac{π}{3}$）为偶函数，
∴θ-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 θ=kπ+$\frac{5π}{6}$，故θ应从A、D中选取．
若θ=$\frac{5π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上，2x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，f（x）是减函数，满足条件．
若θ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-2cos2x，在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上，2x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，f（x）是增函数，不满足条件．
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数的奇偶性，正弦函数、余弦函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．