Question

【题目】已知，函数.

（1）经过原点分别作曲线、的切线，若两切线的斜率互为倒数，证明：；

（2）设，当时，恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设切线，切点为.

则,,

,

由题意，知切线的斜率为，方程为.

设曲线的切点为.

则.

又，消去、后，整理得:.

令.则:.

于是，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

若，由，，则.

而在上单调递减，故.

若，因为在区间上单调递增，且，

所以，，这与题设矛盾.

综上，.

（2）注意到，.

（i）当时，由，则.

于是，在区间上递增，恒成立，符合题意.

（ii）当时，由，且

，

则在区间上递增.

又，则存在，使得.

于是，在区间上递减，在区间递增.

又，此时，不恒成立，不符合题意.

综上，实数的取值范围是.