关于函数f(x)=cos+cos有下列命题:①y=f(x)的最大值为$\sqrt{2}$,②点是y=f(x)的图象的一个对称中心,③y=f(x)在区间($\frac{π}{24}$.$\frac{13π}{24}$)上单调递减,④将函数y=$\sqrt{2}$cos2x的图象向左平移$\frac{π}{24}$个单位后.将与已知函数f(x)的图象重合．其中正确命题的序号� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．关于函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）有下列命题：
①y=f（x）的最大值为$\sqrt{2}$；
②点（$\frac{π}{8}$，0）是y=f（x）的图象的一个对称中心；
③y=f（x）在区间（$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$）上单调递减；
④将函数y=$\sqrt{2}$cos2x的图象向左平移$\frac{π}{24}$个单位后，将与已知函数f（x）的图象重合．
其中正确命题的序号是①③．（把你认为正确的命题的序号都填上）

分析根据诱导公式、两角和的正弦公式化简解析式，利用正弦函数的性质分别判断出①、②、③；再利用图象平移法则判断出④．

解答解：∵（2x+$\frac{π}{6}$）-（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{2}$，
∴（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{π}{2}$+（2x+$\frac{π}{6}$），
则cos（2x-$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$），
①y=f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，①正确；
②当x=$\frac{π}{8}$时，2x+$\frac{5π}{12}$=$\frac{2π}{3}$≠kπ（k∈Z），②不正确；
③当x∈（$\frac{π}{24}，\frac{13π}{24}$）时，$2x+\frac{5π}{12}$∈（$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}$），③正确；
④函数y=$\sqrt{2}$cos2x的图象向左平移$\frac{π}{24}$个单位后，得到函数y=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{12}$），④不正确，
∴正确的命题是①③，
故答案为：①③．

点评本题考查诱导公式、两角和的正弦公式，图象平移法则，以及正弦函数的性质的应用，属于中档题．