Question

如图所示，已知A、B是两个定点，且|AB|=2，动点M到定点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交线段MA于点P，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

思路分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结PB，则|PM|=|PB|，由此|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|AM|=4，即动点P到两定点A，B距离之和为常数．

解：以过A,B两点的直线为x轴，A,B两点的中点O为坐标原点，建立直角坐标系.

∵|AB|=2，∴A,B两点坐标分别为（-1，0），（1，0）．

    连结PB．∵l垂直平分线段BM，

∴|PM|=|PB|，

|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|AM|=4．

    设点P(x,y)，由两点距离公式得

=4.

    化简方程，移项两边平方得（移项）

=4-x，

    两边再平方移项,得=1,即为所求点P轨迹方程．

方法归纳 通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P点与两定点A,B距离之和为常数4，是解本题的关键．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．