题目内容

如图所示,已知A、B、C是椭圆E:=1(a>b>0)上的三点,其中点  

A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,|BC|=2|AC|.

(1)求点C的坐标及椭圆E的方程;

(2)若椭圆E上存在两点P、Q,使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴,试判断向量是否共线,并给出证明.

(1)C(), =1 (2)向量与向量共线


解析:

(1)∵|BC|=2|AC|,且BC经过O(0,0),

∴|OC|=|AC|.又A(2,0),∠ACB=90°,

∴C(),                                                         3分

∵a=2,将a=2及C点坐标代入椭圆方程得

=1,∴b2=4,

∴椭圆E的方程为:=1.                                                                  7分

(2)对于椭圆上两点P、Q,∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴,∴PC与CQ所在直线关于直线x=对称,设直线PC的斜率为k,则直线CQ的斜率为-k,

∴直线PC的方程为y-=k(x-),

即y=k(x-)+.                                                                             ①

直线CQ的方程为y=-k(x-)+,                               ②           10分

将①代入=1,

得(1+3k2)x2+6k(1-k)x+9k2-18k-3=0,                                               ③

∵C(,)在椭圆上,∴x=是方程③的一个根.

∴xP·=,∴xP=,同理可得,xQ=,

∴kPQ==.                                                      14分

∵C(),∴B(-,-),

又A(2,0),∴kAB==,                                                          15分

∴kAB=kPQ,∴向量与向量共线.                                                      16分

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