题目内容
如图所示,已知A、B、C是椭圆E:=1(a>b>0)上的三点,其中点
A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,|BC|=2|AC|.
(1)求点C的坐标及椭圆E的方程;
(2)若椭圆E上存在两点P、Q,使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴,试判断向量与是否共线,并给出证明.
(1)C(,), =1 (2)向量与向量共线
解析:
(1)∵|BC|=2|AC|,且BC经过O(0,0),
∴|OC|=|AC|.又A(2,0),∠ACB=90°,
∴C(,), 3分
∵a=2,将a=2及C点坐标代入椭圆方程得
=1,∴b2=4,
∴椭圆E的方程为:=1. 7分
(2)对于椭圆上两点P、Q,∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴,∴PC与CQ所在直线关于直线x=对称,设直线PC的斜率为k,则直线CQ的斜率为-k,
∴直线PC的方程为y-=k(x-),
即y=k(x-)+. ①
直线CQ的方程为y=-k(x-)+, ② 10分
将①代入=1,
得(1+3k2)x2+6k(1-k)x+9k2-18k-3=0, ③
∵C(,)在椭圆上,∴x=是方程③的一个根.
∴xP·=,∴xP=,同理可得,xQ=,
∴kPQ==. 14分
∵C(,),∴B(-,-),
又A(2,0),∴kAB==, 15分
∴kAB=kPQ,∴向量与向量共线. 16分