题目内容

已知,其中
(1)当时,证明
(2)若在区间内各有一个根,求的取值范围;
(3)设数列的首项,前项和,求,并判断是否为等差数列?
(1)详见解析;(2);(3)不是等差数列.

试题分析:(1)根据条件中,可得,从而考虑采用作差法来比较两者的大小:,再由条件中可知,即;(2)可将条件在区间内各有一个根等价转化为二次函数在区间上各有一个零点,因此利用数形结合的思想可知,需满足:
,则问题等价于在线性约束条件,求线性目标函数的取值范围,将线性约束条件表示的可行域画出,即可得;(3)由题意可知,考虑到当时,,当
,因此数列的通项公式为
,从而可得),由p>0,q>0可知,故不是等差数列.
试题解析:(1),       1分
,          3分
,∴,即
;        4分
(2)抛物线的图像开口向上,且在区间内各有一个根,
        6分
∴点)组成的可行域如图所示,        8分
由线性规划知识可知,,即.        9分

(3)由题意可知,
时,,∴.          10分
时,
        12分
),
从而可知,,∴不是等差数列.        14分
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