题目内容
已知定点F(0，1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求
·
的最小值．
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求
·的最小值．（1）x2＝4y（2）16
(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x2＝4y.
(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为
，
·＝
＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋
(x1＋x2)＋
＋4
＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4
＋8.
∵k2＋
≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．
∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x2＝4y.
(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为
，·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋
(x1＋x2)＋＋4＝－4(1＋k2)＋4k
＋＋4＝4＋8.∵k2＋
≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．∴
·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.
练习册系列答案
相关题目
中，已知定点F（1，0），点
在
轴上运动，点
在
轴上，点
，
．
的方程；
是直线
：
上任意一点，过点
，
，切点分别为
，
，设切线
，
，直线
的斜率为
，求证：
．
的焦点为
,点
为抛物线上的一点，其纵坐标为
，
.
为抛物线上不同于
，过
，求
的最小值.
，直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为
，而直线AB恰好经过抛物线
)的焦点F并且与抛物线交于P、Q两点（P在Y轴左侧）．则
（ ）
+2