Question

【题目】如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．

（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；
（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1 ， k2 ， k3 ， 问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，所以抛物线方程为y2=4x，

准线l的方程为x=﹣1

（2）

解：由条件可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0．

由抛物线准线l：x=﹣1，可知M（﹣1，﹣2k），又Q（1，2），所以 ，

把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，

又Q（1，2），故 ．因为A，F，B三点共线，所以kAF=kBF=k，

即 ，

所以 ，

即存在常数λ=2，使得k1+k2=2k3成立

【解析】（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，即可求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，求出k1+k2 ， k3 ， 即可得出结论．