题目内容
【题目】已知函数,其中
为常数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若是
的一条切线,求
的值;
(3)已知,
为整数,若对任意
,都有
恒成立,求
的最大值.
【答案】(1)答案见解析;(2)0;(3)2.
【解析】分析:(1)求出,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)设切点为
则:
,从而可得结果;(3)
恒成立等价于
对
恒成立,构造函数,通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值,然后可得结果.
详解:(1)函数的定义域为
.
若时,则
,所以
在
上单调递增;
若时,则当
时,
,当
时,
,
所以在
上递减,在
上递增.
(2)设切点为则:
,解得
.
(3)当时,对任意
,都有
恒成立等价于
对
恒成立.
令,则
,
由(1)知,当时,
在
上递增.
因为,所以
在
上存在唯一零点,
所以在
上也存在唯一零点,设此零点为
,则
.
因为当时,
,当
时,
,
所以在
上的最小值为
,所以
,
又因为,所以
,所以
.
又因为为整数且
,所以
的最大值是
.
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