Question

5．已知曲线C的方程为x²+y²=1，A（-2，0），存在一定点B（b，0）（b≠-2）和常数λ，对曲线C上的任意一点M（x，y），都有|MA|=λ|MB|成立，则点P（b，λ）到直线（m+n）x+ny+2n+2m=0距离的最大值为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 利用|MA|=λ|MB|，可得（x+2）²+y²=λ²（x-b）²+λ²y²，由题意，取（1，0）、（-1，0）分别代入，即可求得b、λ，直线（m+n）x+ny+2n+2m=0，即m（x+2）+n（x+y+2）=0过点（1，1），利用两点间的距离公式，即可得出结论．

解答 解：

设M（x，y），则
∵|MA|=λ|MB|，
∴（x+2）²+y²=λ²（x-b）²+λ²y²，
由题意，取（1，0）、（-1，0）分别代入可得$\left\{\begin{array}{l}{（1+2）^{2}={λ}^{2}（1-b）^{2}}\\{（-1+2）^{2}={λ}^{2}（-1-b）^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{λ}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=-\frac{1}{2}}\\{{λ}_{2}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{3}=-2}\\{λ=1}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{4}=-2}\\{{λ}_{4}=-1}\end{array}\right.$（舍去）．
∴点P的坐标是（-$\frac{1}{2}$，2）或（-$\frac{1}{2}$，-2）．
∵直线（m+n）x+ny+2n+2m=0，即m（x+2）+n（x+y+2）=0过点（-2，0），
∴符合条件的点是（-$\frac{1}{2}$，2），则点P（-$\frac{1}{2}$，2）到直线（m+n）x+ny+2n+2m=0距离的最大值为$\sqrt{（-\frac{1}{2}+2）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．