题目内容
【题目】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知底面ABCD的边长AB=3,侧棱AA1=2,E是棱CC1的中点,点F满足 =2
.
(1)求异面直线FE和DB1所成角的余弦值;
(2)记二面角E-B1F-A的大小为θ,求|cosθ|.
【答案】(1).(2)
.
【解析】
(1)先根据题意建立空间直角坐标系,求得向量和向量
的坐标,再利用线线角的向量方法求解.
(2)先求得平面B1FE的一个法向量,易知平面AB1F的一个法向量,再利用面面角的向量方法求解.
(1) 在正四棱柱ABCDA1-B1C1D1中,
以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
因为AB=3,AA1=2,
E是CC1的中点, =2
,
所以E(0,3,1),F(3,2,0),B1(3,3,2).
从而=(-3,1,1),
=(3,3,2).
设异面直线FE和DB1所成的角为α,
则cosα=|cos〈,
〉|=
=
=
.
因此,异面直线FE和DB1所成角的余弦值为.
(2)设平面B1FE的法向量为=(x,y,).
因为=(-3,1,1),
=(0,1,2),
由得
所以
取z=-3,则平面B1FE的一个法向量为=(1,6,-3).
又因为平面AB1F的一个法向量为=(1,0,0),
所以cos〈,
〉=
=
.
因此cosθ|=| cos〈,
〉|=
.
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