题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,侧棱
底面
,底面
是正三角形,
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析,(2)
【解析】
(1) 在线段上取一点
.使
.连结
.利用线段成比例定理可以证明出线线平行以及数量关系,根据平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理可以证明出本问;
(2) 以为坐标原点,
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法可以求出直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)证明:在线段上取一点
.使
.连结
.
在中.因为
,
所以,
所以,
所以,且
,
因为.
所以,
所以且
,
故四边形为平行四边形,所以
,
又平面
平面
,
所以平面
.
(2)以为坐标原点,
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
因为底面是正三角形,
,
所以点,
则,
设平面的法向量为
.
由,
令.得平面
的一个法向量为
,
又,
设直线与平面BCF所成角的大小为
.
则,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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