题目内容
【题目】在棱长为1的正方体
中,点
为
的中点,点
为
上的动点,给出下列说法:①
与
所成的最大角为
;②
的最小值为
;③
与垂直;④若为的中点,则四面体
的体积为
.其中正确的个数有( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
①用特殊位置判断为错误. ②用展开成平面的方法计算出
的最小值，由此判断为正确. ③④用向量的方法判断为正确.
在棱长为1的正方体
中,点
为
的中点,点
为
上的动点.
对于①，当为的中点时，由于
，所以
，而
，所以
，即
与
所称角为
，所以①错误.
对于②，把
展开到同一平面上，由此可知，
的最小值为
，故②正确.
以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设
，则
，
，
，
，所以
，所以
与垂直，故③正确.
对于④，为中点，则
，
，
，
，所以
，设平面
的法向量
，则
，令
，得
，所以
到平面
的距离
，所以四面体
的体积为
.故④正确.
综上所述，正确的有
个.
故选：C
【题目】某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：
，
，
，
，
，
，统计结果如下表所示：
组别 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 5 | 20 | 30 | 30 | 10 | 5 |
以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：
（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间
内的天数不少于2的概率；
（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润
服从正态分布
，其中，
近似为样本平均数
（每组数据取区间的中点值）.
①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间
内的天数（精确到个位）；
②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：
方案一：直接发放奖金，日纯利润低于时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于时每名员工发放奖金90元；
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
金额 | 50元 | 100元 |
概率 |
|
|
小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
参考数据：若
，则
，
.
