Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面底面， 为的中点， 是棱上的点， ， ， ．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若二面角大小为，设，试确定的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面，且平面平面， 可证得平面，进而平面平面；

（Ⅱ）先证明， ， 两两垂直，再以为原点建立空间直角坐标系，利用向量列方程求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）证明：∵， ， 为的中点，

∴四边形为平行四边形，∴，

∵，∴，即．

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）解：∵， 为的中点，∴，

∵平面平面，且平面平面，

∴平面，∴， ， 两两垂直，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，则平面的法向量为， ， ， ， ，

设，则， ，

∵，

∴∴

在平面中， ．

∴平面法向量为．

∵二面角为，∴，

∴．