题目内容
【题目】椭圆中心为坐标原点O,对称轴为坐标轴,且过M（2， 
） ，N(
,1)两点，
（I）求椭圆的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A,B,且
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
【答案】（1）
（2）
， 
【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率及过点过M（2， 
） ，N(
,1)列出方程组求出
，由此能求出椭圆
的方程．
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为
与椭圆联立，得
由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出
的取值范围．
试题解析：（1）
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，与
联立消y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0
当△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0
因为
，所以
所以3m2﹣8k2﹣8=0，由△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0 得
△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0
代入化简得
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切，所以
所求圆 
，直线AB斜率不存在时也满足.
当
时， 
，当
时， 
，即
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