题目内容
14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),给出下列结论:①f(3)=1;
②函数f(x)在[-6,-2]上是减函数;
③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
④若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,8]上的所有根之和为-8.
则其中正确的命题为①②④.
分析 运用条件定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),得出函数f(x)周期为8,x=2,x=-2均为对称轴,即可判断每一个选项正确与否.
解答 解:由条件可知,函数f(x)周期为8,x=2,x=-2均为对称轴,
①中,令x=-1,则f(3)=f(4-1)=-f(-1)=f(1)=log2(1+1)=1,故①正确;
②中,f(x)在[-2,2]上单调递增,由f(x)关于x=-2对称,所以f(x)在在[-6,-2]上是减函数;
故②正确;
③中,f(0)≠f(2),可知f(x)的图象不关于直线x=1对称;故③不正确;
④中,函数f(x)的图象关于直线x=-6,x=2对称;,可知f(x)=m,(m∈(0,1))的根有4个,分别记为x1,x2,x3,x4,
有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-6,$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=2,故x1+x2+x3+x4=8
故④正确
故答案为:①②④
点评 本题考查了函数的性质,函数的周期性,对称性,单调性的综合运用,属于中档题,考查了学生的分析问题的能力.
练习册系列答案
相关题目
19.定义在实数集R上的函数y=f(x)的图象是连续不断的,对任意实数x,若存在实常数t使得f(t+x)=-tf(x)恒成立,则称f(x)是一个“t型函数”.在下列关于“t型函数”的四个命题中,其中真命题是( )
A. | f(x)=0是常值函数中唯一一个“t型函数” | |
B. | f(x)=x2是一个“t型函数” | |
C. | f(x)=|x-$\frac{1}{2}$|是一个“t型函数” | |
D. | “$\frac{1}{2}$型函数”至少有一个零点 |
6.已知集合A={-2,3},B={x|x≤2},U=A∪B,则∁U(A∩B)=( )
A. | {3} | B. | {x|x≤2,或x=3} | ||
C. | {x|x<-2或-2<x≤2,或x=3} | D. | {x|x<-2,或-2<x≤2} |
3.某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛,选拔赛采用单循环制(即每两个队比赛一场),并规定积分前两名的队出线,其中胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分.在经过三场比赛后,目前的积分状况如下:甲队积7分,乙队积1分,丙和丁队各积0分.根据以往的比赛情况统计:
注:各队之间比赛结果相互独立.
(Ⅰ)选拔赛结束,求乙队积4分的概率;
(Ⅱ)设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分,求随机变量X的分布列与数学期望;
(Ⅲ)在目前的积分情况下,M同学认为:乙队至少积4分才能确保出线,N同学认为:乙队至少积5分才能确保出线.你认为谁的观点对?或是两者都不对?(直接写结果,不需证明)
乙队胜的概率 | 乙队平的概率 | 乙队负的概率 | |
与丙 队比赛 | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ |
与丁队比赛 | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
(Ⅰ)选拔赛结束,求乙队积4分的概率;
(Ⅱ)设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分,求随机变量X的分布列与数学期望;
(Ⅲ)在目前的积分情况下,M同学认为:乙队至少积4分才能确保出线,N同学认为:乙队至少积5分才能确保出线.你认为谁的观点对?或是两者都不对?(直接写结果,不需证明)