题目内容

14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),给出下列结论:
①f(3)=1;
②函数f(x)在[-6,-2]上是减函数;
③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
④若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,8]上的所有根之和为-8.
则其中正确的命题为①②④.

分析 运用条件定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),得出函数f(x)周期为8,x=2,x=-2均为对称轴,即可判断每一个选项正确与否.

解答 解:由条件可知,函数f(x)周期为8,x=2,x=-2均为对称轴,
①中,令x=-1,则f(3)=f(4-1)=-f(-1)=f(1)=log2(1+1)=1,故①正确;
②中,f(x)在[-2,2]上单调递增,由f(x)关于x=-2对称,所以f(x)在在[-6,-2]上是减函数;
故②正确;
③中,f(0)≠f(2),可知f(x)的图象不关于直线x=1对称;故③不正确;
④中,函数f(x)的图象关于直线x=-6,x=2对称;,可知f(x)=m,(m∈(0,1))的根有4个,分别记为x1,x2,x3,x4
有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-6,$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=2,故x1+x2+x3+x4=8
故④正确
故答案为:①②④

点评 本题考查了函数的性质,函数的周期性,对称性,单调性的综合运用,属于中档题,考查了学生的分析问题的能力.

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