题目内容
在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点的坐标分别为A(-
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
| MA |
| MB |
| MC |
| 0 |
| NC |
| 7 |
| NA |
| 7 |
| NB |
| MN |
| AB |
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求
| PE |
| PF |
（3）若G（-a，0），H（2a，0），θ为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ（λ＞0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先设出点C的坐标，根据△ABC的重心的充要条件表示出点M的坐标，再根据点A和B坐标以及距离的关系求出点N的坐标，由两点之间的距离公式代入|
|=
|
|，进行化简求出点C的轨迹方程；
（2）由题意设出点E、F和直线的方程，联立直线方程和轨迹方程，消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理列出两根和以及积的式子，由判别式的符号求出k2-3的范围，根据向量数量积的坐标运算列出
•
关于k的式子，根据求出的范围，即求出
•
的范围；
（3）设出Q的坐标并代入轨迹方程，由特殊情况QH⊥x轴求出λ的值，根据点G和H坐标求出两个角的正切值，由两个角的范围和正切值进行判断是否成立．
| NC |
| 7 |
| NA |
（2）由题意设出点E、F和直线的方程，联立直线方程和轨迹方程，消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理列出两根和以及积的式子，由判别式的符号求出k2-3的范围，根据向量数量积的坐标运算列出
| PE |
| PF |
| PE |
| PF |
（3）设出Q的坐标并代入轨迹方程，由特殊情况QH⊥x轴求出λ的值，根据点G和H坐标求出两个角的正切值，由两个角的范围和正切值进行判断是否成立．
解答：（1）设C（x，y），由
+
+
=0知，
∴M是△ABC的重心，∴M(
，
)．
∵|
|=|
|且向量
与
共线，∴N在边AB的中垂线上，
∵A(-
a，0)，B(
a，0)(a＞0)，∴N(0，
)，
又∵|
|=
|
|，∴x2+
y2=7(
+
)，化简得x2-
=a2，
即所求的轨迹方程是x2-
=a2．
（2）设E（x1，y1）、F（x2，y2），过点P（0，a）的直线方程为y=kx+a，
代入x2-
=a2得（3-k2）x2-2akx-4a2=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
，且△=4a2k2+16a2（3-k2）＞0，解得k2＜4．
∴k2-3＜1，则
＞4或
＜0，
∴
•
=(x1，y1-a)•(x2，y2-a)=x1x2+kx1•kx2=(1+k2)x1x2=
=4a2(1+
)，
则
•
的取值范围是（-∞，4a2）∪（20a2，+∞）．
（3）设Q（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则
-
=a2，即y02=3（x02-a02）．
当QH⊥x轴时，x0=2a，y0=3a，∴∠QGH=
，即∠QHG=2QGH，故猜想λ=2．
当QH不垂直x轴时，tan∠QHG=-
，tan∠QGH=
，
∴tan2∠QGH=
=
=-
=tan∠QHG．
又2∠QGH与∠QHG同在(0，
)∪(
，π)内，
∴2∠QGH=∠QHG．
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立．
| MA |
| MB |
| MC |
∴M是△ABC的重心，∴M(
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
∵|
| NA |
| NB |
| MN |
| AB |
∵A(-
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
| y |
| 3 |
又∵|
| NC |
| 7 |
| NA |
| 4 |
| 9 |
| a2 |
| 7 |
| y2 |
| 9 |
| y2 |
| 3 |
即所求的轨迹方程是x2-
| y2 |
| 3 |
（2）设E（x1，y1）、F（x2，y2），过点P（0，a）的直线方程为y=kx+a，
代入x2-
| y2 |
| 3 |
∴x1+x2=
| 2ak |
| 3-k2 |
| -4a2 |
| 3-k2 |
∴k2-3＜1，则
| 4 |
| k2-3 |
| 4 |
| k2-3 |
∴
| PE |
| PF |
| -4a2(1+k2) |
| 3-k2 |
=4a2(1+
| 4 |
| k2-3 |
则
| PE |
| PF |
（3）设Q（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则
| x | 2 0 |
| ||
| 3 |
当QH⊥x轴时，x0=2a，y0=3a，∴∠QGH=
| π |
| 4 |
当QH不垂直x轴时，tan∠QHG=-
| y0 |
| x0-2a |
| y0 |
| x0+a |
∴tan2∠QGH=
| 2tan∠QGH |
| 1-tan2∠QGH |
| ||
1-(
|
| y0 |
| x0-2a |
又2∠QGH与∠QHG同在(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴2∠QGH=∠QHG．
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立．
点评：本题考查了轨迹方程的求法以及向量数量积的坐标，利用△ABC的重心的充要条件和距离公式求出轨迹方程，主要利用解析法中的设而不求思想，即根据题意列出方程组，根据韦达定理和判别式列出式子，把式子整体代入进行化简，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．
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