题目内容
（2013•宁波模拟）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：
（1）
+
+
=
（2）|
|=|
|=|
|
（3）
∥
则△ABC的顶点C的轨迹方程为（ ）
（1）
| GA |
| GB |
| GC |
| O |
（2）|
| MA |
| MB |
| MC |
（3）
| GM |
| AB |
则△ABC的顶点C的轨迹方程为（ ）
分析：由题目给出的条件，分别得到G为三角形ABC的重心，M为三角形ABC的外心，设出G点坐标，由GM∥AB，可知M和G具有相同的纵坐标，由重心坐标公式得到C点的坐标，然后由M到A和C的距离相等列式可得G的轨迹方程，利用代入法转化为C的轨迹方程．
解答：解：由
+
+
=
得，G为重心，
由
=
=
得，M为外心．
所以M点在y轴上（M到AB两点距离相等）．
又
∥
，则GM∥AB．
设M为（0，y），G为（x，y）（y≠0），由重心坐标公式得C为（3x，3y）．
再由MA=MC，得
=
．
整理得：9x2+3y2=1①．
再设c（x'，y'），由3x=x'，3y=y'得x=
，y=
．
代入①得：(x′)2+
=1．
所以△ABC的顶点C的轨迹方程为x2+
=1 (y≠0)．
故选C．
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
由
| MA |
| MB |
| MC |
所以M点在y轴上（M到AB两点距离相等）．
又
| GM |
| AB |
设M为（0，y），G为（x，y）（y≠0），由重心坐标公式得C为（3x，3y）．
再由MA=MC，得
| 12+y2 |
| (3x)2+(y-3y)2 |
整理得：9x2+3y2=1①．
再设c（x'，y'），由3x=x'，3y=y'得x=
| x′ |
| 3 |
| y′ |
| 3 |
代入①得：(x′)2+
| (y′)2 |
| 3 |
所以△ABC的顶点C的轨迹方程为x2+
| y2 |
| 3 |
故选C．
点评：本题考查了轨迹方程，解答此题的关键是根据题目给出的条件判出G点是三角形ABC的重心，M为外心，考查了三角形的重心坐标公式，训练了代入法求曲线方程，此题属中档题．
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