题目内容
【题目】椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，过左焦点任作直线l，交椭圆的上半部分于点M，当l的斜率为 时，|FM|= 
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．
【答案】
（1）
解：依题意∴ 
），∴ 
，
又∵ 
，解得a2=3，b2=2．
∴椭圆C的方程为： 
．
（2）
解：依题意直线l不垂直x轴，
当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）
则直线AB的方程为：y=﹣ 
．
联立 
，得 
．
， 
…①．
设AB的中点为C，则xC= 
．
点C在直线l上，∴ 
，m=﹣2k﹣ 
…②
此时 
与①矛盾，故k≠0时不成立．
当直线l的斜率k=0时，A（x0，y0），B（x0，﹣y0） （x0＞0，y0＞0）
△AOB面积s= 
．
∵ 
，∴ 
．．
∴△AOB面积的最大值为 
，当且仅当 
时取等号．
【解析】（1）根据离心率及弦长构造方程组，求得a，b． （2）当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）
联立直线与椭圆方程，由△＞0得到k，m的关系式，再由对称性求得k，m的关系式，此时k不存在．
当直线l的斜率k=0时，A（x0 ， y0），B（x0 ， ﹣y0） （x0＞0，y0＞0）△AOB面积s= ．
由均值不等式求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
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