Question

【题目】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，A，B两点为喷泉，圆心O为AB的中点，其中OA=OB=a米，半径OC=10米，市民可位于水池边缘任意一点C处观赏．

（1）若当∠OBC= 时，sin∠BCO= ，求此时a的值；
（2）设y=CA2+CB2 ， 且CA2+CB2≤232．
（i）试将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；
（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时，观赏角度∠ACB的最大值不小于 ，试求A，B两处喷泉间距离的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△OBC中，由正弦定理得， ，

易得

（2）解：（i）易知AC2=100+a2﹣20acos∠AOC，BC2=100+a2﹣20acos∠BOC，

故CA2+CB2=200+2a2，

又因为CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，解得0＜a≤4，

即y=200+2a2，a∈（0，4]；

（ii）当观赏角度∠ACB的最大时，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得 ，

即

由题意可知 ，解此不等式得 ，

经验证， ，即

【解析】（1）当∠OBC= 时，sin∠BCO= ，由正弦定理求此时a的值；（2）（i）利用余弦定理，结合CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，可将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；（ii）当观赏角度∠ACB的最大时，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．