Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{5}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（sinx，-$\frac{1}{2}$），函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$$+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）求f（x）的解析式与最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A为锐角，a=2$\sqrt{3}$，c=4，且f（x）恰好在[0，$\frac{π}{2}$]上取得最大值，求角B的值以及△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，利用正弦函数的周期性和单调性即可得解；
（Ⅱ）由x的范围，根据题意可求A，由正弦定理可求C，B，b，c，从而根据三角形面积公式即可得解；方法二，由余弦定理可求b，结合三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（$\overrightarrow{m}$$+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{n}$=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+2=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2其最下正周期为π…6分
（Ⅱ）∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{6}$，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值．即2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，∴A=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{4×sin\frac{π}{3}}{2\sqrt{3}}$=1，
∴C=$\frac{π}{2}$，则B=$\frac{π}{6}$，则b=$\frac{1}{2}$c=2，
∴S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$…12分
方法二：由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴12=b²+16-4b，
∴b=2，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．