题目内容

设函数的定义域是,其中常数.(注:
(1)若,求的过原点的切线方程.
(2)证明当时,对,恒有.
(3)当时,求最大实数,使不等式恒成立.

(1)切线方程为.(2)详见解析.(3)的最大值是6.

解析试题分析:(1)一般地,曲线在点处的切线方程为:.注意,此题是求过原点的切线,而不是求在原点处切线方程,而该曲线又过原点,故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)不等式可化为,要证明这个不等式,只需利用导数求出上的值域即可.
(3)令,则问题转化为恒成立.注意到,所以如果单调增,则必有恒成立.下面就通过导数研究的单调性.
试题解析:(1).若切点为原点,由知切线方程为;
若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.
,故切线方程为.
综上所述,所求切线有两条,方程分别为.
(2)当时,令,则,故当时恒有,即 在单调递减,故恒成立.
,故,即,此即

(3)令,则,且,显然有,且 的导函数为

,则,易知恒成立,从而对恒有,即单调增,从而恒成立,从而单调增,恒成立.
,则,存在,使得恒成立,即恒成立,再由

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