题目内容
【题目】已知.
(1)设是
的极值点,求实数
的值,并求
的单调区间:
(2)时,求证:
.
【答案】(1) 单调递增区间为
,单调递减区间为
; (2)见解析.
【解析】
(1)由题意,求得函数的导数,由
是函数
的极值点,解得
,又由
,进而得到函数的单调区间;
(2)由(1),进而得到函数的单调性和最小值
,令
,利用导数求得
在
上的单调性,即可作出证明.
(1)由题意,函数的定义域为
,
又由,且
是函数
的极值点,
所以,解得
,
又时,在
上,
是增函数,且
,
所以,得
,
,得
,
所以函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)由(1)知因为,在
上,
是增函数,
又(且当自变量
逐渐趋向于
时,
趋向于
),
所以,,使得
,
所以,即
,
在上,
,函数
是减函数,
在上,
,函数
是增函数,
所以,当时,
取得极小值,也是最小值,
所以,
令,
则,
当时,
,函数
单调递减,所以
,
即成立,
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