Question

10．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄-a₂=8，a₃+a₅=26，则S_n的最小项是1；若记T_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立．则M的最小值是3．

Answer 1

分析 由条件求得数列的通项公式a_n 以及前n项和公式S_n，可得S_n的最小项．再根据 T_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=2-$\frac{1}{n}$≤M对一切正整数n都成立，求得M的最小值．

解答 解：等差数列{a_n}的前n项和为S_n，∵a₄-a₂=8=2d，∴公差d=4．
再根据a₃+a₅=2a₁+6d=26，a₁=1，故a_n=1+（n-1）4=4n-3，
故S_n的最小项为a₁=1．
∵S_n=n×1+$\frac{n（n-1）•4}{2}$=2n²-n，∴T_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=2-$\frac{1}{n}$．
由于存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立，则M的最小值是3，
故答案为：1，3．

点评 本题主要考查等差数列得定义、性质以及前n项和，函数的恒成立问题，属于基础题．