题目内容
5．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1（-$\sqrt{3}$，0），F2（$\sqrt{3}$，0），且经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．
①求k1k2的值；
②求OB2+OC2的值．
分析 （1）依题意，c=$\sqrt{3}$，a2=b2+3，（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程及离心率；
（2）①利用斜率公式，即可求k1k2的值；
②由①知，k3k4=k1k2=$-\frac{1}{4}$，故x1x2=-4y1y2．利用OB2+OC2=$x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$，求OB2+OC2的值．
解答 解：（1）依题意，c=$\sqrt{3}$，a2=b2+3，…2分
由$\frac{3}{{{b^2}+3}}+\frac{{\frac{1}{4}}}{b^2}=1$，解得b2=1（b2=$-\frac{3}{4}$，不合，舍去），从而a2=4．
故所求椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…5分
（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（-x1，-y1），
于是k1k2=$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}$=$\frac{{（1-\frac{x_2^2}{4}）-（1-\frac{x_1^2}{4}）}}{x_2^2-x_1^2}$=$-\frac{1}{4}$．…8分
②由①知，k3k4=k1k2=$-\frac{1}{4}$，故x1x2=-4y1y2．
所以（x1x2）2=（-4y1y2）2，即（x1x2）2=$16（1-\frac{x_1^2}{4}）（1-\frac{x_2^2}{4}）$=$16-4（x_1^2+x_2^2）+x_1^2x_2^2$，
所以，$x_1^2+x_2^2$=4．…11分
又2=$（\frac{x_1^2}{4}+y_1^2）+（\frac{x_2^2}{4}+y_2^2）$=$\frac{x_1^2+x_2^2}{4}+y_1^2+y_2^2$，故$y_1^2+y_2^2=1$．
所以，OB2+OC2=$x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$=5．…14分
点评 本题考查椭圆方程与性质，考查斜率公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=2BE=4．
设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=$\frac{π}{6}$，a=bcosC．| A． | $\sqrt{3}$ | B． | ±$\sqrt{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | ±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |