Question

如图，三棱锥P-ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点．
（1）求MN的长；
（2）求证：PA⊥BC；
（3）求三棱锥P-ABC的表面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先连接MB，MC．根据三棱锥P-ABC 的三个侧面均为边长是1 的等边三角形，得出底面△ABC 也是边长为1 的等边三角形．在Rt△MNB 中利用勾股定理即可求得MN的长；
（2）由M 是PA 的中点，得出 PA⊥MB，同理 PA⊥MC．根据线面垂直的判定定理得出 PA⊥平面MBC，再由线面垂直的性质定理可得 PA⊥BC；
（3）根据三棱锥P-ABC 的三个侧面和底面均为边长是1 的等边三角形，结合面积公式得出三棱锥P-ABC 的表面积．
解答：解：（1）连接MB，MC．
因为 三棱锥P-ABC 的三个侧面均为边长是1 的等边三角形，
所以 ，且底面△ABC 也是边长为1 的等边三角形．
因为 N 为BC 的中点，所以 MN⊥BC．在Rt△MNB 中，．…4分
（2）证明：因为M 是PA 的中点，所以 PA⊥MB，同理 PA⊥MC．
因为 MB∩MC=M，所以 PA⊥平面MBC，
又因为 BC?平面MBC，所以 PA⊥BC．…8分
（3）因为 侧面等边三角形APB 的面积为，
且三棱锥P-ABC 的三个侧面和底面均为边长是1 的等边三角形，
所以 三棱锥P-ABC 的表面积为．…12分
点评：本小题主要考查空间中直线与直线之间的位置关系、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．