Question

1．已知数列{a_n}，a₁=1，a₂=2，a_n+1-3a_n+2a_n-1=0，（n∈N^*，且n≥2），求a_n，并求出它的前n项的和S_n．

Answer 1

分析 由题意可得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），数列{a_n-a_n-1}为首项为1，公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式和数列恒等式a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），再由等比数列的求和公式，即可得到所求．

解答 解：a_n+1-3a_n+2a_n-1=0，即为a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），
数列{a_n-a_n-1}为首项为1，公比为2的等比数列，
即有a_n-a_n-1=2^n-2（n＞1），
则a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+2+4+…+2^n-2=1+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1，
则前n项的和S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列恒等式的运用及构造数列的思想，属于中档题．