题目内容

【题目】已知圆过点和点,且圆心在直线上.

(1)求圆的方程;

(2)过点作圆的切线,求切线方程.

(3)设直线,且直线被圆所截得的弦为,满足,求直线的方程.

【答案】(1) x2y26x4y40. (2) .(3)yx1yx4.

【解析】试题分析:(1)设圆心C(a,b),由两点间距离公式及圆心在直线上,列出方程组,求出圆心坐标,进而求出圆半径,由此能求出圆C的方程.

(2)当切线的斜率k存在时,设过点(6,3)的切线方程为kx﹣y﹣6k+3=0,则圆心C(3,﹣2)到切线的距离d=,求出k,从而求出切线方程;当切线斜率k不存在时,切线方程为x=6,成立.由此能求出切线方程.

(3)由题意得OAOB,从而|OA|2|OB|2|AB|2,进而解得m=-1m=-4,由此能求出直线l的方程.

试题解析:

()设圆C的方程为x2y2DxEyF0

解得D=-6E4F4

所以圆C的方程为x2y26x4y40.

C的方程为,

当斜率存在时,设切线方程为

,解得

所以切线方程为,即.

当斜率不存在时, .

所以所求的切线方程为.

直线l的方程为yxm.

A(x1y1)B(x2y2)

则联立消去y2x22(m1)xm24m40(*)

y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2.

AOB90°∴|OA|2|OB|2|AB|2

=(x1x2)2(y1y2)2

x1x2y1y202x1x2m(x1x2)m20

m24m4m(1m)m20,解得m=-1m=-4.

容易验证m=-1m=-4时方程(*)有实根.

所以直线l的方程是yx1yx4.

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