Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知利用递推公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$可得a_n，代入分别可求数列b_n的首项b₁，公比q，从而可求b_n；
（2）由（1）可得c_n=（2n-1）•4^n-1，利用乘“公比”错位相减求和．

解答 解：（1）：当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
故{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，即{a_n}是a₁=1，公差d=2的等差数列．
设{b_n}的公比为q，则b₁qd=b₁，d=2，
∴q=$\frac{1}{2}$．
故b_n=b₁q^n-1=1×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即{b_n}的通项公式为b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
即T_n=1+3×$\frac{1}{2}$+5×$\frac{1}{4}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{4}$+5×$\frac{1}{8}$+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减得，$\frac{1}{2}$T_n=1+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1）-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
∴T_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 当已知条件中含有s_n时，一般会用结论a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，来求通项，注意求和的方法的选择主要是通项，本题所要求和的数列适合乘“公比”错位相减的方法，此法是求和中的重点，也是难点．