题目内容

定义在R上的函数f(x),f(0)≠0,且对任意实数a,b,有f(a+b)=f(a)•f(b),当x>0时,f(x)>1,
(1)证明:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(x)•f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
(3)当x∈[1,+∞)时,f(x2+x)+mf(2x)≥0恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)-f(x1)与0的大小即可.
(2)根据f(a+b)=f(a)•f(b),把不等式f(x-2)•f(2x-x2)>1化为f(-x2+3x-2)>1,再借助函数的单调性解不等式即可.
(3)当x∈[1,+∞)时,f(x2+x)+mf(2x)≥0恒成立,推出m的表达式,利用函数的单调性,即可求实数m的取值范围.
解答:解:(1)证明:任取x1<x2,则x2-x1>0,
由题设x>0时,f(x)>1,可得f(x2-x1)>1,
f(x2)=f(x1)f(x2-x1)⇒
f(x2)
f(x1)
=f(x2-x1)>1,
又f(
1
2
x1+
1
2
x1)=f(
1
2
x1)f(
1
2
x1)=f 2
1
2
x1)≥0⇒f(x1)≥0,
故有f(x2)>f(x1
所以 f(x)是R上增函数.
(2))∵f(a+b)=f(a)•f(b),
∴令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2
∵f(0)≠0,
∴f(0)=1;  
又∵f(a+b)=f(a)•f(b),
∴f(x)•f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)>1,
又∵1=f(0)且f(x)在R上单调递增,
∴由f(-x2+3x)>f(0)可得,-x2+3x>0,解得,0<x<3,
∴x的取值范围为(0,3).
(3)因为当x>0时,f(x)>1,所以f(2x)>1,
f(x2+x)+mf(2x)≥0,可得m≥-
f(x2+x)
f(2x)
=-f(x2-x).
当x∈[1,+∞)时,x2-x是增函数,f(x2-x)是增函数,
-f(x2-x)是减函数,
所以x=1时,-f(x2-x)取得最大值,
∴m≥-f(12-1)=-f(0)=-1.
∴m≥-1.
实数m的取值范围:[-1,+∞).
点评:本题考点是抽象函数及其应用,考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性,以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性,此类题要求答题者有较高的数学思辨能力,能从所给的条件中组织出证明问题的组合来.
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