题目内容

(2011•杭州一模)设函数f(x)=
sinx+cosx-|sinx-cosx|
2
(x∈R),若在区间[0,m]上方程f(x)=-
3
2
恰有4个解,则实数m的取值范围是
[
3
17π
6
)
[
3
17π
6
)
分析:解:先画出函数f(x)在一个周期上的图象,再将方程f(x)=-
3
2
恰有4个解问题转化为函数f(x)的图象与y=-
3
2
恰有4个交点问题,数形结合即可求得m的范围
解答:解:当sinx≥cosx时,即x∈[
π
4
+2kπ,
4
+2kπ]
时,f(x)=cosx
当sinx<cosx时,即x∈[-
4
+2kπ,
π
4
+2kπ]时,f(x)=sinx
∴函数f(x)为以2π为周期的周期函数,其在[0,2π)上的图象如图:
若在区间[0,m]上方程f(x)=-
3
2
恰有4个解,即在区间[0,m]上函数f(x)的图象与y=-
3
2
恰有4个交点
∵f(
6
)=-
3
2
,f(
3
)=-
3
2
,f(
6
+2π)=f(
17π
6
)=-
3
2

∴由图数形结合可知,当m∈[
3
17π
6
)
时,两函数图象恰有4个交点
故答案为 [
3
17π
6
)
点评:本题主要考查了三角分段函数的图象及其画法,方程的根与函数图象交点间的关系,数形结合求参数的范围及转化化归的思想方法
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