题目内容
（2011•杭州一模）已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别满足a，b，c，（I）若3
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
（II）若
| CO |
| AB |
| BO |
| CA |
| b2+c2 |
| a2 |
分析：（I）设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O为三角形的外心，得到|
|=|
|=|
|=R，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cos∠BOC的值；
（II）将已知的等式左右两边利用平面向量的减法法则计算，再利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理变形后，整理可得出所求式子的值．
| OA |
| OB |
| OC |
（II）将已知的等式左右两边利用平面向量的减法法则计算，再利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理变形后，整理可得出所求式子的值．
解答：解：（Ⅰ） 设外接圆半径为R，由3
+4
+5
=
得：4
+5
=-3
，
平方得：16R2+40
•
+25R2=9R2，即
•
=-
R2，
则cos∠BOC=-
；
（Ⅱ）∵
•
=
•
，
∴
•(
-
)=
(
-
)，
即：-
•
+
•
=-
•
+
•
，
可得：-R2cos2A+R2cos2B=-R2cos2C+R2cos2A，
∴2cos2A=cos2C+cos2B，
即：2（1-2sin2A）=2-（2sin2B+2sin2C），
∴2sin2A=sin2B+sin2C，
∴利用正弦定理变形得：2a2=b2+c2，
∴
=2．
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
| OB |
| OC |
| OA |
平方得：16R2+40
| OB |
| OC |
| OB |
| OC |
| 4 |
| 5 |
则cos∠BOC=-
| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）∵
| CO |
| AB |
| BO |
| CA |
∴
| CO |
| OB |
| OA |
| BO |
| OA |
| OC |
即：-
| OC |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OC |
可得：-R2cos2A+R2cos2B=-R2cos2C+R2cos2A，
∴2cos2A=cos2C+cos2B，
即：2（1-2sin2A）=2-（2sin2B+2sin2C），
∴2sin2A=sin2B+sin2C，
∴利用正弦定理变形得：2a2=b2+c2，
∴
| b2+c2 |
| a2 |
点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，以及向量在几何中的运用，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．
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