题目内容
【题目】已知函数,其中常数
.
(1)当时,求函数
的单调递增区间;
(2)设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
,若
在
内恒成立,则称
为函数
的“类对称点”,当
时,试问
是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】试题分析:(1)先求得定义域求导得
,由于
,所以增区间为
;(2)当
时,
,利用导数求得切线
,两式相减得
,利用导数求得以当
时,
存在“类对称点”.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,∵
,∴
,∵
,∴
,令
,即
,∵
,∴
或
,
所以函数的单调递增区间是
;
(2)当时,
,
∴,
,
令,
则,
,当
时,
在
上单调递减.
∴当时,
,
从而有时,
,
当时,
在
上单调递减,
∴当时,
,
从而有时,
,
∴当时,
不存在“类对称点”.
当时,
,
∴在
上是增函数,故
,
所以当时,
存在“类对称点”.
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