题目内容
【题目】若定义在上,且不恒为零的函数满足:对于任意实数和,总有恒成立,则称为“类余弦型”函数.
(1)已知为“类余弦型”函数,且,求和的值;
(2)证明:函数为偶函数;
(3)若为“类余弦型”函数,且对于任意非零实数,总有,设有理数、满足,判断和大小关系,并证明你的结论.
【答案】(1),;(2)证明见解析;(3),理由见解析.
【解析】
(1)令,可求出的值,令可求出的值;
(2)令,代入题中等式得出,可证明出函数为偶函数;
(3)令,证明出,即可说明对任意、且,有,然后设,,、是非负整数,、为正整数,利用偶函数和前面的结论,即可得出和的大小关系.
(1)令,,则有,,.
令,则有,所以,;
(2)令,可得,,
由于函数的定义域为,因此,函数为偶函数;
(3)时,,,
所以,,
令,即对任意的正整数有,
则,
所以,对于任意正整数,成立,
对任意的、且,则有成立,
、为有理数,所以可设,,其中、为非负整数,、为正整数,则,,
令,,,则、为正整数,
,,所以,,即,
函数为偶函数,,,.
练习册系列答案
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【题目】某家具公司生产甲、乙两种书柜,制柜需先制白胚再油漆,每种柜的制造白胚工时数、油漆工时数的有关数据如下:
工艺要求 | 产品甲 | 产品乙 | 生产能力(工时/天) |
制白胚工时数 | 6 | 12 | 120 |
油漆工时数 | 8 | 4 | 64 |
单位利润 | 20元 | 24元 |
则该公司合理安排这两种产品的生产,每天可获得的最大利润为______.