Question

【题目】设数列{an}前n项和为Sn ， 且Sn+an=2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=a1 ， bn= ，n≥2 求证{ }为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设cn= ，求数列{cn}的前n和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由Sn+an=2，得Sn+1+an+1=2，两式相减，得2an+1=an ， ∴ （常数）， ∴数列{an}是等比数列，
又n=1时，S1+a1=2，∴ ；
（Ⅱ）证明：由b1=a1=1，且n≥2时，bn= ，得bnbn﹣1+3bn=3bn﹣1 ，
∴ ，
∴{ }是以1为首项， 为公差的等差数列，
∴ ，故 ；
（Ⅲ）解：cn= = ，
，
，
以上两式相减得，

=
= ．
∴ ．
【解析】（Ⅰ）由数列递推式可得Sn+1+an+1=2，与原数列递推式作差可得数列{an}是等比数列，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）由b1=a1求得b1 ， 把bn= 变形可得{ }为等比数列，求其通项公式后可得数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）把{an}，{bn}的通项公式代入cn= ，利用错位相减法求数列{cn}的前n和Tn ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．