Question

已知离心率为的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线的左右焦点，点P是椭圆上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）试判断k₁•k₂的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当时，圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线的左右焦点求出顶点A₁，A₂的坐标，再利用离心率为即可求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）直接利用两点坐标求出k₁•k₂的值即可判断k₁•k₂的值是否与点P的位置有关；
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）的结论求出直线PA₂的方程，再利用圆心到直线的距离以及弦长和半径之间的关系即可求实数m的值．
解答：解：（Ⅰ）双曲线的左右焦点为（±2，0）
即A₁，A₂的坐标分别为（-2，0），（2，0）．（1分）
所以设椭圆C₁的标准方程为，则a=2，（2分）
且=，所以，从而b²=a²-c²=1，（4分）
所以椭圆C₁的标准方程为．（5分）

（Ⅱ）设P（x，y）则，即=（6分）
==．（8分）
所以k₁•k₂的值与点P的位置无关，恒为． （9分）

（Ⅲ）由圆C₂：x²+y²-2mx=0得（x-m）²+y²=m²，
其圆心为C₂（m，0），半径为|m|，（10分）
由（Ⅱ）知当时，，
故直线PA₂的方程为即x+2y-2=0，（11分）
所以圆心为C₂（m，0）到直线PA₂的距离为，
又由已知圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为及垂径定理得
圆心C₂（m，0）到直线PA₂的距离，
所以=，即m²+m-2=0，解得m=-2或m=1．（13分）
所以实数m的值为1或-2．（14分）．
点评：本题主要考查直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考查学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．