Question

已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（，1，O是坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A、B为椭圆C上相异两点，且⊥，判定直线AB与圆O：x²+y²=的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+m，由，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由△=8（8k²-m²+4）＞0，知8k²-m²+4＞0，由韦达定理得：，y₁•y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）=．由得x₁x₂+y₁y₂=0．由圆心到直线的距离，能够推导出直线AB与圆O相切．
解答：解：（1）由，解得：，故椭圆C的方程为．（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+m，
由，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，（1分）
则△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，
由韦达定理得：，（1分）
则y₁•y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=．
由得：
x₁x₂+y₁y₂=0，（1分）
即，化简得：3m²-8k²-8=0，（1分）
因为圆心到直线的距离，（1分）
，
而，∴d²=r²，即d=r．（1分）
此时直线AB与圆O相切
当直线AB的斜率不存在时，由可以计算得A，B的坐标为或．
此时直线AB的方程为．
满足圆心到直线的距离等于半径，即直线AB与圆O相切．（1分）
综上，直线AB与圆O相切．（1分）
点评：本题考查椭圆C的方程，判定直线与圆的位置关系，并证明．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．