Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围；
（3）若a= ，证明：ex﹣1f（x）≥x．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，函数f（x）=x2﹣lnx， ．

函数f（x）的定义域为（0，+∞），

则由f'（x）＞0得 ，由f'（x）＜0得 ，

所以函数f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为

（2）解：由已知得f′（x）=2ax﹣ ．

若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，则2a≤ 恒成立，所以2a≤（ ）min=1，即a≤ ．

①a≤ 时，f（x）在（0，1]单调递减，f（x）min=f（1）=a，与|f（x）|≥1恒成立矛盾．

②当a＞ 时，令f′（x）=2ax﹣ =0，得x= ∈（0，1]．

所以当x∈（0， ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（ ，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以f（x）min=f（ ）=a（ ）2﹣ln = + ln2a．

由|f（x）|≥1得， + ln2a≥1，所以a≥ ．

综上，所求a的取值范围是[ ，+∞）

（3）解：证明：a= 时，由（Ⅱ）得f（x）min= + ln2a=1．

令h（x）= ，则h′（x）= ．

所以当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增；当x≥1时，h′（x）＜0，h（x）单减．

所以h（x）≤h（1）=1．…（13分）

所以f（x）≥h（x），即ex﹣1f（x）≥x

【解析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）求出导数，对a讨论，①a≤ 时，②当a＞ 时，求出单调区间，可得最小值，由恒成立思想即可得到a的范围；（3）a= 时，由（Ⅱ）得f（x）min= + ln2a=1，令h（x）= ，求出导数，单调区间，运用单调性即可得证．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．