Question

12．已知f（x）=2asinxcosx+2cos²x，且f（$\frac{π}{6}$）=3．
（1）求实数a的值和最小正周期；
（2）当x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=asin2x+cos2x+1，由f（$\frac{π}{6}$）=3可得a=$\sqrt{3}$，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，可得周期；
（2）由x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）和三角函数的值域可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=2asinxcosx+2cos²x=asin2x+cos2x+1，
∵f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$+1=3，解得a=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），∴2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈（1-$\sqrt{3}$，3]，
∴函数f（x）的值域为（1-$\sqrt{3}$，3]．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．