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4．已知集合A={x|x=m+n$\sqrt{2}$，m∈Z，N∈Z}（1）证明：任何整数都是A的元素．
（2）设x1，x2∈A，求证：x1•x2∈A．
分析 （1）分当n≠0和当n=0两种情况，利用A中元素的形态分别讨论即可．
（2）若x1、x2∈M，则x1=a+$\sqrt{2}$b，x2 =c+$\sqrt{2}$d，且a、b、c、d∈Z，分别计算x1•x2 的形态，从而确定与集合A的关系．
解答 证明：（1）∵A={x|x=m+$\sqrt{2}$n，m、n∈Z}，
∴当n≠0时，x为无理数，
当n=0时，x为整数，
∴任何整数都是A的元素．
（2）若x1、x2∈A，则x1=a+$\sqrt{2}$b，x2 =c+$\sqrt{2}$d，且a、b、c、d∈Z，
根据 x1x2 =ac+2bd+（ad+bc）$\sqrt{2}$，仍是m+$\sqrt{2}$n，m、n∈Z的形式，
故x1x2 属于集合A．
点评 本题主要考查元素与集合的关系的判定，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
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