(2003•崇文区一模)某化肥厂从今年1月起.若不改善生产环境.按现状生产.每月收入为70万元.同时还将受到环保部门的处罚.第1个月罚1万元.以后逐月递增2万元．如果从今年1月起投资400万元增加回收净化设备.一方面可以改善环境.免去环保部门的处罚.另一方面也可降低原料成本.据测算.投产后的前5个月中的累计收入y是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2003•崇文区一模）某化肥厂从今年1月起，若不改善生产环境，按现状生产，每月收入为70万元，同时还将受到环保部门的处罚，第1个月罚1万元，以后逐月递增2万元．如果从今年1月起投资400万元增加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，免去环保部门的处罚，另一方面也可降低原料成本，据测算，投产后的前5个月中的累计收入y（万元）是生产时间n（以月为单位）的二次函数．生产前1、前2、前3个月的累计收入分别可达101万元、204万元和309万元，以后每个月的收入稳定在第5个月的水平．
（I）求投资改造设备后，累计收入y与生产时间n的函数表达式；
（II）至少经过多少个月，投资改造设备后的纯收入多于不改造设备时的纯收入？

分析：（I）根据投产后的前5个月中的累计收入y（万元）是生产时间n（以月为单位）的二次函数可利用待定系数法求出函数解析式，以后累计收入成等差数列，从而求出投资改造设备后，累计收入y与生产时间n的函数表达式；
（II）先比较改造设备后前5个月的纯收入与不改造设备前5个月的纯收入可知5个月内投资不能见成效，然后根据投资改造设备后的纯收入多于不改造设备时的纯收入建立关系式，解之即可．

解答：本小题满分（15分）．
（I）解：设y=an²+bn+c（n≤5，n∈N）．
则

101=a+b+c

204=4a+2b+c

309=9a+3b+c.

解此方程组，得a=1，b=100，c=0．
∴y=n²+100n（n≤5，n∈N）．…（4分）
当n＞5，n∈N时，
y=525+（n-5）[525-416]=109n-20．…（7分）
即y=

n2+100n(n≤5，n∈N)

109n-20(n＞5，n∈N).

…（8分）
（II）解：改造设备后前5个月的纯收入：5²+100×5-400=125，
不改造设备前5个月的纯收入：70×5-[1+3+5+7+9]=325，
∵125＜325，
∴5个月内投资不能见成效，…（10分）
当n＞5，n∈N时，
令109n-20-400＞70n-[n+

n(n-1)

×2]，即109n-420＞70n-n2，
化简，得n²+39n-420＞0，…（13分）
当5＜n≤8时，n²+39n-420＜0，
当n≥9时，n²+39n-420＞0．
即至少经过9个月，投资改造设备后的纯收入才能多于不改造设备时的纯收入．…（15分）

点评：本题主要考查的知识点是函数解析式的求法，以及函数模型的选择与应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．