题目内容

圆心在曲线y=
3
x
 (x>0)
上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为(  )
A.(x-2)2+(y-
3
2
)2=9
B.(x-3)2+(y-1)2=(
16
5
)2
C.(x-1)2+(y-3)2=(
18
5
)2
D.(x-
3
)2+(y-
3
)2=9
设圆心为(a,
3
a
),a>0,
圆心到直线的最短距离为:
|3a+4×
3
a
+3|
9+16
=
1
5
|3a+
12
a
+3|=r,(圆半径)
∴|3a+
12
a
+3|=5r,
∵a>0,∴3a+
12
a
+3=5r,
欲求面积最小的圆的方程,即求r最小时a和r的值,
∵5r=3a+
12
a
+3≥2
3a•
12
a
+3=15,
∴r≥3,当3a=
12
a
,即a=2时,取等号,
∴面积最小的圆的半径r=3,圆心为(2,
3
2

所以面积最小的圆的方程为:(x-2)2+(y-
3
2
2=9.
故选A.
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