Question

圆心在曲线y=

3

x

（x＞0）上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为

（x-2）²+（y-

3

2

）²=9

．

Answer 1

分析：设圆心为（a，

3

a

），a＞0，圆心到直线的最短距离为：

|3a+4× 3 a |+3

9+16

，再由a的值化简，并利用均值不等式求出r的最小值，即可求出圆的方程．

解答：解：设圆心为（a，

3

a

），a＞0，
圆心到直线的最短距离为：

|3a+4× 3 a |+3

9+16

=

1

5

|3a+

12

a

+3|=r
∴|3a+

12

a

+3|=5r

∵a＞0，
∴3a+

12

a

+3=5r

欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，

5r=3a+

12

a

+3≥2

3a• 12 a

+3=15

∴r≥3，当3a=

12

a

，即a=2时，取等号，

∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，

3

2

）

所以面积最小的圆的方程为：（x-2）²+（y-

3

2

）²=9

点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离公式和圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．