题目内容
14.关于x的方程x2+4xsin$\frac{θ}{2}+mtan\frac{θ}{2}=0(\frac{π}{2}<θ<π)$有两个相等的实数根.(1)求实数m的取值范围;
(2)当m=$\frac{6}{5}$时,求$\frac{{\sqrt{2}cos(\frac{π}{4}-θ)•sinθ}}{cos2θ}$的值.
分析 (1)由题意可得△=0,可得m=$\frac{4si{n}^{2}\frac{θ}{2}}{tan\frac{θ}{2}}$=4sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=2sinθ,由三角函数的知识可得;
(2)当m=$\frac{6}{5}$时,sinθ=$\frac{3}{5}$,cosθ=-$\frac{4}{5}$,化简要求的式子,代入计算可得.
解答 解:(1)由题意可得△=(4sin$\frac{θ}{2}$)2-4mtan$\frac{θ}{2}$=0,
∴m=$\frac{4si{n}^{2}\frac{θ}{2}}{tan\frac{θ}{2}}$=4sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=2sinθ,
∵$\frac{π}{2}$<θ<π,∴0<sinθ<1,
∴0<2sinθ<2,
∴实数m的取值范围为(0,2);
(2)当m=$\frac{6}{5}$时,sinθ=$\frac{3}{5}$,
又$\frac{π}{2}$<θ<π,∴cosθ=-$\frac{4}{5}$,
∴$\frac{{\sqrt{2}cos(\frac{π}{4}-θ)•sinθ}}{cos2θ}$=$\frac{\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ)sinθ}{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}$
=$\frac{(cosθ+sinθ)sinθ}{(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)}$
=$\frac{sinθ}{cosθ-sinθ}$=$\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}$=-$\frac{3}{7}$
点评 本题考查三角函数化简求值,涉及和差角的三角函数公式和一元二次方程根与系数关系,属中档题.
A. | (-$∞,\frac{3}{2}$) | B. | ($\frac{3}{2},+∞$) | C. | (-$∞,-\frac{3}{2}$) | D. | (-$\frac{3}{2},+∞$) |
A. | 必要不充分 | B. | 充分不必要 | ||
C. | 充要 | D. | 既不充分也不必要 |
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分且必要条件 | D. | 既不充分又不必要条件 |
A. | i-1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 0 | D. | 1 |
A. | 0 | B. | 2 | C. | $\frac{5}{2}$ | D. | 5 |
A. | [4,6] | B. | [-$\sqrt{6}$,-2] | C. | [2,$\sqrt{6}$] | D. | [-$\sqrt{6}$,-2]∪[2,$\sqrt{6}$] |