题目内容
（2011•广东模拟）已知数列{xn}的前n项和为Sn满足Sn+1=Sn+
，S1=
n∈N+
（I）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）对于数列{un}若存在常数M＞0，对任意的n∈N+，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+-+|u2-u1|≤M则称数列{Un}为B-数列．问数列{xn}是B-数列吗？并证明你的结论．
| 1 |
| 1+xn |
| 1 |
| 2n |
（I）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）对于数列{un}若存在常数M＞0，对任意的n∈N+，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+-+|u2-u1|≤M则称数列{Un}为B-数列．问数列{xn}是B-数列吗？并证明你的结论．
分析：（I）由已知得x1=
，xn+1=
，∴x2=
，x3=
，x4=
，猜想数列{x2n}是递减数列，再用数学归纳法证明；
（Ⅱ）利用定义寻找使得不等式成立的M的值，从而先去证明|xn+1-xn|≤
×(
)n-1，从而可判断．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 1+xn |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 8 |
（Ⅱ）利用定义寻找使得不等式成立的M的值，从而先去证明|xn+1-xn|≤
| 1 |
| 6 |
| 2 |
| 5 |
解答：解：（I）由已知得x1=
，xn+1=
，∴x2=
，x3=
，x4=
，猜想数列{x2n}是递减数列（3分）
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即x2k＞x2k+2
易知x2k＞0，那么x2k+2-x2k+4=
-
＞0即x2（k+1）＞x2（k+1）+2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（6分）
（Ⅱ）数列{xn}是B-数列．（7分）
当n=1时，|xn+1-xn|=|x2-x1|=
，（8分）
当n≥2时，易知0＜xn-1＜1，∴1+xn-1＜2，xn＞
（9分）
∴(1+xn)(1+xn-1)=2+xn-1≥
（10分）
∴|xn+1-xn|=|
-
|=|xn-xn-1|×
)≤
|xn-xn-1|≤-≤
×(
)n-1（12分）
∴|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+-+|x2-x1|≤
×
＜
所以数列{xn}是B-数列．（13分）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 1+xn |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 8 |
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即x2k＞x2k+2
易知x2k＞0，那么x2k+2-x2k+4=
| 1 |
| 1+x2k+1 |
| 1 |
| 1+x2k+3 |
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（6分）
（Ⅱ）数列{xn}是B-数列．（7分）
当n=1时，|xn+1-xn|=|x2-x1|=
| 1 |
| 6 |
当n≥2时，易知0＜xn-1＜1，∴1+xn-1＜2，xn＞
| 1 |
| 2 |
∴(1+xn)(1+xn-1)=2+xn-1≥
| 5 |
| 2 |
∴|xn+1-xn|=|
| 1 |
| 1+xn |
| 1 |
| 1+xn-1 |
| 1 |
| (1+xn)(1+xn-1 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 2 |
| 5 |
∴|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+-+|x2-x1|≤
| 1 |
| 6 |
1-(
| ||
1-
|
| 5 |
| 18 |
所以数列{xn}是B-数列．（13分）
点评：本题（1）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．
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