Question

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=2B，sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．若△ABC的面积S_△ABC=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$，则边AB的长为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 6$\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 由已知可求cosB，sinA，由S_△ABC=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$=$\frac{1}{2}$acsinB可得：ac=30．①由正弦定理可得解得：a=$\frac{3b}{2}$．②可求cosC=-cos3B的值，可求sinC，由正弦定理可得c=$\frac{5b}{4}$，③，②③带入①可得b，从而可求c．

解答 解：∵A=2B，
∴由大边对大角可得B为锐角，可得cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∵S_△ABC=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$=$\frac{1}{2}$acsinB=ac×$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}$，可得：ac=30．①
∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得：$\frac{a}{\frac{3\sqrt{7}}{8}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$，解得：a=$\frac{3b}{2}$．②
∵cosC=cos[π-（A+B）]=-cos3B=-（2cos³B-cosB-2sin²BcosB）=-（-$\frac{9}{16}$）=$\frac{9}{16}$．
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，由正弦定理可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$，可得：c=$\frac{5b}{4}$，③
∴②③带入①可得：b=4，从而可求c=5．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式，大边对大角等知识的应用，属于基本知识的考查．