题目内容
（本小
题满分13分）
已知椭圆
（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆
有相同的离心率，斜
率为k的直线l经过点M（0，1
），与椭圆C交于不同两点A、B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
题满分13分）已知椭圆
（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1
），与椭圆C交于不同两点A、B．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
解：（1）∵焦距为4，∴
c=2………………………………………………1分
又∵的离心率为
……………………………… 2分
∴
，∴a=
，b=2………………………… 4分
∴标准方程为
………………………………………6分
（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得
……………………7分
∴x1+x2=
，x1x2=
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴
＜0………………………………8分
∴（x1 -2）（x2-2）+ y1y2＜0
即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…………………… 9分
∴
＜0…………… 11分
∴k＜
……………………………………………………………… 12分
经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，
∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……………………………13
c=2………………………………………………1分又∵
的离心率为……………………………… 2分∴
，∴a=，b=2………………………… 4分∴标准方程为
………………………………………6分（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得……………………7分∴x1+x2=
，x1x2=由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，∴
＜0………………………………8分∴（x1 -2）（x2-2）+ y1y2＜0
即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…………………… 9分
∴
＜0…………… 11分∴k＜
……………………………………………………………… 12分经检验得k＜
时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，
）……………………………13略
练习册系列答案
相关题目
B 
C 
D 
的左准线上，过点P斜率为
的光线，
(a>b>0)的一个焦点，PQ是经过另一个焦点F2的弦，则△PF1Q的周长是（ ）
上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（ ）
的右顶点与上顶点分别
上，求椭圆的离心率；
中心的直线与椭圆交于A、B两点,右焦点为F2,则△ABF2
B．
C．
D．
的离心率
，则
的取值范围是 （ ）
