Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形,平面，，为的中点.

（I）求证，平面；

（II）若，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】

（I）取的中点，连接.连接，交于点，连接交于点，连接.由中位线定理得出为的中点，结合为的中点，得出，由线面平行的判定定理即可求解;

（II）利用余弦定理得出，结合勾股定理得到，因为四边形是平行四边形，得到DC为三棱锥D-SAC的高，结合，得到，即可求出三棱锥的体积.

（I）证明：取的中点，连接.连接，交于点，

连接交于点，连接.

因为为的中点，是的中点，所以.

又，所以为的中点，所以为的中点，

又为的中点，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（II）因为.

由余弦定理得，

所以，所以.

因为平面，所以，

所以，所以平面.

因为四边形是平行四边形

所以DC为三棱锥D-SAC的高

因为，

所以,

即三棱锥的体积为.