Question

（本小题满分14分）

设数列是公差为的等差数列，其前项和为．

（1）已知，，

（ⅰ）求当时，的最小值；

（ⅱ）当时，求证：；

（2）是否存在实数，使得对任意正整数，关于的不等式的最小正整数解为?若存在，则求的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

（本小题满分14分）

设数列是公差为的等差数列，其前项和为．                               

（1）已知，，

（ⅰ）求当时，的最小值；

（ⅱ）当时，求证：；

（2）是否存在实数，使得对任意正整数，关于的不等式的最小正整数解为?若存在，则求的取值范围；若不存在，则说明理由．

【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力.

(1) (ⅰ) 解:  

当且仅当即时,上式取等号.

故的最大值是……………………………………………………4分

 (ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知，

当时,，……6分

，

……………………………………8分

……………………………………9分

 (2)对,关于的不等式的最小正整数解为，

当时，；……………………10分

当时，恒有，即,

从而……………………12分                                 

当时,对,且时, 当正整数时,

有……………………13分

所以存在这样的实数,且的取值范围是.……………………14分