Question

【题目】已知椭圆M： + =1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2 ， 求|S1﹣S2|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1， 又b= ，所以a=2，
所以椭圆方程为 =1；
（Ⅱ）直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，
此时D（﹣1， ），C（﹣1，﹣ ），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），
设C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），
和椭圆方程联立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|
=2|k（x2+x1）+2k|= = ≤ = ，（k=± 时等号成立）
所以|S1﹣S2|的最大值为
【解析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2 ， x1x2 ， |S1﹣S2|可转化为关于x1 ， x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．